Eu / Mim

  "Eu" tem a função de sujeito e sempre aparece antes do verbo. "Mim" é usado após uma preposição e não tem função de sujeito na oração.
exemplos:
 Eu fiz o bolo. ("eu" é sujeito)
 Abra a portar para eu entrar. ("entrar" é o verbo)
 Por mim, você faz qualquer coisa. ("por" é preposição)
 Entre mim e ela está tudo bem. ("entre" preposição)